Подсказка по
алгебре
Формулы
сокр. умножения и разложения на
множители:
(a±b)²
=a²±2ab+b²
(a±b)³
=a³±3a²
b+3ab²±b³
a²-b²
=(a+b)(a-b)
a³±b³
=(a±b)(a²±ab+b²
),
(a+b)³ =a³+b³
+3ab(a+b)
(a-b)³ =a³-b³
-3ab(a-b)
xn-an=(x-a)(xn-1+axn-2+a²
xn-3+...+an-1)
ax² +bx+c=a(x-x1)(x-x2)
, где x1 и x2 —
корни уравнения ax²
+bx+c=0
Степени и
корни:
ap ag = ap+g
ap/ag=a p-g
(ap)g=a pg
ap/bp = (a/b)p
ap bp = abp
a0=1; a1=a
a-p = 1/a
pÖ a = b => bp=a
pÖ apÖ
b = pÖ ab
Ö a ; a =
0
Квадратное
уравнение
ax² +bx+c=0; (a¹
0)
x1,2= (-b± Ö
D)/2a; D=b² -4ac
D>0® x1¹
x2 ;D=0® x1=x2
D<0, корней нет.
Теорема Виета:
x1+x2 = -b/a
x1 x2 = c/a
Приведенное кв. уравнение:
x² + px+q =0
x1+x2 = -p
x1× x2
= q
Если p=2k (p-четн.) и x²
+2kx+q=0, то x1,2 = -k±
Ö (k²
-q)
Нахождение длины отр-ка
по его координатам
Ö ((x2-x1)²
-(y2-y1)²
)
Логарифмы:
loga x = b => ab = x; a>0, a¹0
a loga x = x, logaa =1; loga
1 = 0
loga x = b; x = ab
loga b = 1/(log b a)
logaxy = logax + loga y
loga x/y = loga x - loga y
loga xk =k loga x (x >0)
logak x =1/k loga x
loga x = (logc x)/( logca); c>0,c¹
1
logbx = (logax)/(logab)
Прогрессии:
Арифметическая
an = a1 +d(n-1)
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)n
Геометрическая
bn = bn-1 ×
q
b2n = bn-1×
bn+1
bn = b1×
qn-1
Sn = b1 (1- qn)/(1-q)
S= b1/(1-q)
Тригонометрия:
sin x = a/c
cos x = b/c
tg x = a/b=sinx/cos x
ctg x = b/a = cos x/sin x
sin (p -a
) = sin a
sin (p /2 -a
) = cos a
cos (p /2 -a
) = sin a
cos (a + 2p
k) = cos a
sin (a + 2p
k) = sin a
tg (a + p
k) = tg a
ctg (a + p
k) = ctg a
sin² a
+ cos² a
=1
ctg a = cosa
/ sina , a
¹ p
n, nÎ Z
tga ×
ctga = 1, a
¹ (p
n)/2, nÎ Z
1+tg² a
= 1/cos² a
, a ¹
p (2n+1)/2
1+ ctg² a
=1/sin² a
, a ¹
p n
Формулы сложения:
sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y
sin (x-y) = sin x cos y - cos x sin y
cos (x+y) = cos x cos y - sin x sin y
cos (x-y) = cos x cos y + sin x sin y
tg(x+y) = (tg x + tg y)/ (1-tg x tg y )
x, y, x + y ¹ p
/2 + p n
tg(x-y) = (tg x - tg y)/ (1+tg x tg y)
x, y, x - y ¹ p
/2 + p n
Формулы двойного аргумента.
sin 2a = 2sin a
cos a
cos 2a = cos²
a - sin²
a = 2 cos²
a - 1 = 1-2 sin²
a
tg 2a = (2 tga
)/ (1-tg² a
)
1+cos a = 2 cos²
a /2
1-cosa = 2 sin²
a /2
tga = (2 tg (a
/2))/(1-tg² (a
/2))
Ф-лы половинного
аргумента:
sin² a
/2 = (1 - cos a )/2
cos² a
/2 = (1 + cosa )/2
tg a /2 = sina
/(1 + cosa ) = (1-cos a
)/sin a
a ¹ p
+ 2p n, n Î
Z
Ф-лы преобразования
суммы в произв:
sin x + sin y = 2 sin ((x+y)/2) cos ((x-y)/2)
sin x - sin y = 2 cos ((x+y)/2) sin ((x-y)/2)
cos x + cos y = 2cos (x+y)/2 cos (x-y)/2
cos x - cos y = -2sin (x+y)/2 sin (x-y)/2
Формулы преобр. произв.
в сумму
sin x sin y = ½ (cos
(x-y) - cos (x+y))
cos x cos y = ½ (cos (x-y)+
cos (x+y))
sin x cos y = ½ (sin (x-y)+
sin (x+y))
Соотнош. между ф-ями:
sin x = (2 tg x/2)/(1+tg2x/2)
cos x = (1-tg2 2/x)/ (1+ tg²
x/2)
sin2x = (2tgx)/(1+tg2x)
sin² a
= 1/(1+ctg² a
) = tg² a
/(1+tg² a
)
cos² a
= 1/(1+tg² a
) = ctg² a
/ (1+ctg² a
)
ctg2a = (ctg²
a -1)/ 2ctga
sin3a = 3sina
-4sin³ a
= 3cos² a
sina -sin³
a
cos3a = 4cos³
a -3 cosa=
cos³ a
-3cosa sin²
a
tg3a = (3tga
-tg³ a
)/(1-3tg² a
)
ctg3a = (ctg³
a -3ctga
)/(3ctg² a
-1)
sin a /2 = ±
Ö ((1-cosa
)/2)
cos a /2 = ±
Ö ((1+cosa
)/2)
tga /2 = ±
Ö ((1-cosa
)/(1+cosa ))=sina
/(1+cosa )=(1-cosa
)/sina
ctga /2 = ±
Ö ((1+cosa
)/(1-cosa ))=sina
/(1-cosa )= (1+cosa
)/sina
sin(arcsin a ) = a
cos( arccos a ) = a
tg ( arctg a ) = a
ctg ( arcctg a ) = a
arcsin (sina ) = a
; a Î
[-p /2 ; p
/2]
arccos(cos a ) = a
; a Î
[0 ; p ]
arctg (tg a ) = a
; a Î
[-p /2 ; p
/2]
arcctg (ctg a ) = a
; a Î
[ 0 ; p ]
arcsin(sina )=
1)a - 2p
k; a Î
[-p /2 +2p
k;p /2+2p
k]
2) (2k+1)p - a
; a Î
[p /2+2p
k;3p /2+2p
k]
arccos (cosa ) =
1) a -2p
k ; a Î
[2p k;(2k+1)p
]
2) 2p k-a
; a Î
[(2k-1)p ; 2p
k]
arctg(tga )= a
-p k
a Î
(-p /2 +p
k;p /2+p
k)
arcctg(ctga ) = a
-p k
a Î
(p k; (k+1)p
)
arcsina = -arcsin (-a
)= p /2-arccosa
= arctg a /Ö
(1-a ²
)
arccosa = p
-arccos(-a )=p
/2-arcsin a = arc ctga
/Ö (1-a
² )
arctga =-arctg(-a
) = p /2 -arcctga
= arcsin a /Ö
(1+a ²
)
arc ctg a = p
-arc cctg(-a ) = arc cos a
/Ö (1-a
² )
arctg a = arc ctg1/a
= arcsin a /Ö
(1+a ²
)= arccos1/Ö (1+a
² )
arcsin a + arccos = p
/2
arcctg a + arctga
= p /2
Тригонометрические
уравнения
sin x = m ; |m| = 1
x = (-1)n arcsin m + p
k, kÎ Z
sin x =1 sin x = 0
x = p /2 + 2p
k x = p k
sin x = -1
x = -p /2 + 2 p
k
cos x = m; |m| = 1
x = ± arccos m + 2p
k
cos x = 1 cos x = 0
x = 2p k x = p
/2+p k
cos x = -1
x = p + 2p
k
tg x = m
x = arctg m + p k
ctg x = m
x = arcctg m +p k
sin x/2 = 2t/(1+t2); t - tg
cos x/2 = (1-t² )/(1+t²
)
Показательные
уравнения.
Неравенства: Если af(x)>(<)
aа(ч)
1) a>1, то знак не меняеться.
2) a<1, то знак меняется.
Логарифмы: неравенства:
logaf(x) >(<) log a j
(x)
1. a>1, то : f(x) >0
j (x)>0
f(x)>j (x)
2. 0<a<1, то: f(x) >0
j (x)>0
f(x)<j (x)
3. log f(x) j (x) = a
ОДЗ: j (x) > 0
f(x) >0
f(x ) ¹ 1
Тригонометрия:
1. Разложение на множители:
sin 2x - Ö 3 cos x = 0
2sin x cos x -Ö 3 cos x = 0
cos x(2 sin x - Ö 3) = 0
....
2. Решения заменой ....
3.sin² x - sin 2x + 3 cos²
x =2
sin² x - 2 sin x cos x + 3
cos ² x = 2 sin²
x + cos² x
Дальше пишеться если sin x = 0, то и cos
x = 0,
а такое невозможно, => можно
поделить на cos x
Тригонометрические нер-ва
:
sin a ³
m
2p k+a
1 = a
= a
2+ 2p k
2p k+a 2
= a
= (a
1+2p )+ 2p
k
Пример:
I cos (p /8+x) < Ö
3/2
p k+ 5p
/6< p /8 +x< 7p
/6 + 2p k
2p k+ 17p
/24 < x< p /24+2p
k;
II sin a=1/2
2p k +5p
/6 = a
= 13p
/6 + 2p k
cos a ³
(=) m
2p k + a
1 < a < a
2+2 p k
2p k+a 2<
a < (a
1+2p ) + 2p
k
cos a ³
- Ö 2/2
2p k+5p
/4 = a
= 11p
/4 +2p k
tg a ³
(= ) m
p k+ arctg m =
a =
arctg m + p k
ctg ³ (=
) m
p k+arcctg m < a
< p +p
k
Производная:
(xn)’ = n×
xn-1
(ax)’ = ax×
ln a
(lg ax )’= 1/(x×
ln a)
(sin x)’ = cos x
(cos x)’ = -sin x
(tg x)’ = 1/cos² x
(ctg x)’ = - 1/sin² x
(arcsin x)’ = 1/ Ö (1-x²
)
(arccos x)’ = - 1/ Ö (1-x²
)
(arctg x)’ = 1/ Ö (1+x²
)
(arcctg x)’ = - 1/ Ö (1+x²
)
Свойства:
(u × v)’ = u’×
v + u× v’
(u/v)’ = (u’v - uv’)/ v²
Уравнение касательной к граф.
y = f(x0)+ f ’(x0)(x-x0)
уравнение к касательной к графику
в точке x
1. Найти производную
2. Угловой коофициент k =
производная в данной точке x
3. Подставим X0, f(x0), f ‘
(x0), выразим х
Интегралы :
ò xn dx = xn+1/(n+1)
+ c
ò ax dx = ax/ln a
+ c
ò ex dx = ex
+ c
ò cos x dx = sin x + cos
ò sin x dx = - cos x + c
ò 1/x dx = ln|x| + c
ò 1/cos²
x = tg x + c
ò 1/sin²
x = - ctg x + c
ò 1/Ö
(1-x² ) dx = arcsin x +c
ò 1/Ö
(1-x² ) dx = - arccos x +c
ò 1/1+ x²
dx = arctg x + c
ò 1/1+ x²
dx = - arcctg x + c |