Учителям

Родителям

Психология

Гостям

Треугольники

a + b + g =180

Теорема синусов

a² = b² +c² - 2bc cos a
b² = a² +c² - 2ac cos b
c² = a² + b² - 2ab cos g
Медиана дели треуг. на два равновеликих. Медиана делит противопол. сторону треуг-ка напополам. Биссектриса делит угол напополам. Высота падает на пр. сторону под прямым углом.

Формула Герона:

p=½ (a+b+c)
S = Ö p(p-a)(p-b)(p-c)
S = ½ ab sin a
S_равн.=(a² Ö 3)/4
S = bh/2
S=abc/4R
S=pr

Трапеция.

S = (a+b)/2× h

Круг

S= p R²
S_{сектора}=(p R² a )/360

Т.Сумма смежных углов = 180°
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр. накрест лежащ. Ð =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,ð прямые| |.
Док-во: Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. Ð 1=Ð 2
Но Ð 1=Ð 3 (вертикальные)ð Ð 3=Ð 2.Но Ð 2 и Ð 3-накрестлежщие.ð По Т 1 a | | bn
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. Ð =180° , то прямые | |n
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й прямой, то внутр.накрестлеащие Ð =, соответств.Ð =, сумма внутр.одностÐ =180° Перпедикулярные пр-е пересек-ся Ð 90° .

1.Через кажд. тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (Ï данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.
3. две прямые ^ 3-й параллельны.
4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.

Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180° /n); r = a / 2 tg (180° )
Треугольник NB! 
1. Все 3 высоты каждогоÑ пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. Ñ пересек. в 1 тчке - центр впис. круга.
4. Все 3 ^ , восстановленные из середин сторон Ñ , пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия | | и = ½ основания
H(опущ. на стор. a) = 2v p(p-a)(p-b)(p-c)
                                                  a
M(опущ на стор a) = ½ v 2b2+2c2 -a2
B (-‘’-)= 2v bcp(p-a) / b+c, где p - полупериметр
a² =b² +c² -2bx, х-проекция 1-й из сторон 

Признаки равенства Ñ : 2Ñ =, если = сотв.
1. 2 стороны и Ð между ними.
2. 2 Ð и сторона между ними.
3. 2 Ð и сторона, противолеж. 1-му из Ð
4. три стороны
5. 2 стороны и Ð , лежащий против большей из них.

Прямоугольный Ñ C=90° a² +b² =c²
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c

Равносторонний Ñ H= v 3 * a/2
S Ñ = ½ h a =½ a b sin C

Параллелограмм
d² +d`² =2a² + 2b²
S =h a=a b sinA(между а и b)= ½ d d` sinB (между d d`)

Трапеция 
S= (a+b) h/2 =½ uvsinZ= Mh

Ромб 
S=a h =a² sinA= ½ d d`

Окружность
L= p Rn° / 180° , n° -центр Ð
Т.Впис.Ð = ½ L , L-дуга,на ктрую опирÐ
S(cектора)= ½ R² a = p R² n° / 360°

Векторы.  

Скалярное произведение
` а` b=|` a| |` b| cos (` a Ù ` b),
|` a| |` b| - длина векторов

Скалярное произведение  
|` a|{ x`; y`} и |` b|{ x``; y``} , заданных своими коорди-натами, = |` a| |` b| = x` × y` + x`` × y``

Плоскости.
Т. Если прямая, Ï к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, Î a , то она | | a
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b , то a | | b .
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ^ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ^ каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^ .
Т. 2 ^ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^ , то и другая ^ плоскости.
Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.
Дано: [a)^ b ,[a) Î a ,a È b = (p).Д-ть: a ^ b
Док-во: [a)^ b =· М. Проведем (b) через М, (b)^ (p). (a)Ù (b) - линейный Ð двугранного угла между a и b . Так как [a)^ b ð (a)^ (b)ð (a)Ù (b)=90° ð a ^ b n
Т. Если 2 пл-сти взаимно ^ , то прямая 1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т. О 3-х ^ .. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.

Стереометрия

Многогранники

Призма. 
V = S осн × a - прямая призма, где a - боковое ребро 
V = S пс × а - наклонная призма, где а - боковое ребро, S пс- S ^ -го сечения
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)

Пирамида 
V= 1/3 * НS осн. S=S всех Ñ .

Фигуры вращения

Цилиндр 
V=p R² H; S= 2p R (R+H)

Конус 
V= 1/3 * НS осн= 1/3 * p R² H
S= Sосн+ Sбок= p R (r + L); L-образующая

Сфера 
“оболочка” S= 4p R²

Шар 
М= 4/3 p R3

V=S_осн× Р
Прямоугольный
V=abc

Пирамида:

V =1/3S_осн.× H
S_полн.= S_бок.+ S_осн.
Усеченная 
V = 3 (S₁+S₂+Ö S₁S₂)
S₁ и S₂ — площади осн.
S_полн.=S_бок.+S₁+S₂

Конус:

V=1/3 p R² H
S_бок. =p Rl
S_бок.= p R(R+1)
Усеченный
S_бок.= p l(R₁+R₂)
V=1/3p H(R₁²+R₁R₂+R₂²)

Призма:

V=S_осн.× H
прямая 
S_бок.=P_осн.× H
S_полн.=S_бок+2S_осн.
наклонная 
S_бок.=P_пс× a
V = S_пс× a, а -бок. ребро.
P_пс — периметр
S_пс — пл. перпенд. сечения

Цилиндр:

V=p R² H ; S_бок.= 2p RH
S_полн.=2p R(H+R)
S_бок.= 2p RH

Сфера и шар:

V = 4/3 p R³ - шар
S = 4p R³ - сфера

Шаровой сектор:

V = 2/3 p R³ H, где H - высота сегм.

Шаровой сегмент:

V=p H² (R-H/3)
S=2p RH